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不等式证明的高等数学方法研究

    不等式证明的高等数学方法研究
    【摘要】不等式是研究数学时一种必不可少的工具,这是由于不等式在培养学生创新思维方面有着非常重要的作用,但是在不等式证明的数学方法研究中都一直缺乏系统的理论提升。本文分析总结了高等数学证明不等式中的几种非常重要的方法及其使用条件。
    【关键词】高等数学;不等式;证明;方法;研究
    Study on the Higher Mathematics Method of the Inequality Proof
    【Abstrac】Inequality is an important tool for studying on higher mathematical problem. Proving inequality is also extremely important in cultivating students' creative thinking. However, inequality in advanced mathematics to prove the method of the theory has been the lack of system level upgrade. This article studies and summarizes several major approaches to the proof of inequality in higher mathematics and their applicable conditions.
    【Keywords】higher mathematics;inequality;proof; method;study
    不等式是数学研究中非常重要的一种方法,它广泛应用于数学的各个方面,在高等数学中有着极其重要的作用。证明不等式是高等数学中一种常见的题型,但在证明过程中也具有一定的难度,所以,这类题型经常会在考研试卷中出现。不等式证明的方法比较多,但是其在高等数学方法中的研究缺乏系统的理论提升。基于上述出现的问题,本文对不等式证明的高等数学方法进行了比较详细的研究,探讨了每种方法的适应条件,希望能对开拓学生的解题思路提供一定的帮助。
    1 微分学方法
    1.1 利用函数的单调性性质
    假如证明不等式f(x)>g(x),那么优先考虑此方法,通常步骤为:
    (1)将不等式先改为f(x)-g(x) >0,用来构造一个新的函数F(x)= f(x)-g(x)
    (2)得出F(x),并由F’(X)的符号来判断F(x)在对应区间上的单调性。
    如例题1:求证,当x >0时,有
    ln(x+)>
    证明:设F(x)= ln(x+ - ,那么,F(0)=0,得到F’(X),并根据F’(X)的符号判断F(X)在对应区间的单调性,从而就可以证明此不等式了。
    再利用函数单调性证明不等式时,其中的关键性就在于重新构造一个函数。一般来说,构造函数的方法分为两种:作商或者相减。在相减无效的情况下,再继续应用做商的方法。在判断构造函数单调性的时候,有的时候需要进一步根据F’’(X)或者更高阶导数来判断F’(X)的符号,最后得到F(X)的单调性。
    1.2 利用函数的极值
    利用函数极值的方法与函数单调性的方法适用范围类似,但两者方法之间还是稍微有所区别的。当构造函数在既定的区间不单调时或者当f(x) > a 或f(x) < b时(a和b均为常数),在这样的情况下就可使用极值的方法,其基本步骤为:
    (1)构造一个函数,当不等式左右两边均含有未知函数时,可将不等式两边进行相减构造函数,当碰到f(x) > a 或f(x) < b时,可设定f(x)为构造函数;
    (2)得到构造函数的给定区间上的极值;
    如例题2:若p >1时,证明对[0 1]中的任意x有 ≤ xp +(1-x)p ≤1
    证明:设定函数f(x) = xp +(1-x)p,利用导数求出此函数在[0 1]上的极大值为1,极小值为,所以,就得出 ≤ xp +(1-x)p ≤1了。
    1.3 利用函数的凹凸特性
    当证明的不等式两边或者一边是同一函数在不同点出的函数值进行叠加时,通常需要将不等式变形为构造函数,利用函数的凹凸性特点进行证明。
    如例题3:如果A,B,C是是三角形ABC的三个内角,那么
++ ≤
    先分析上述不等式,不等式的左边为sin x的函数和,因此,构造一个凹函数f(x)=-sinx
    证明:令f(x)= –sinx,0<x<P,则f’’(x)= sinx > 0,那么f(x)是(0 P)上的凹函数,利用函数的凹凸性,很容易就可证明
    ++ ≤
    1.4 利用微分中值定理
    假如将要证明的不等式含有增量f(a)-f(b)或者可以改为增量,那么可以考虑借助拉格朗日中值定理来证明;假如不等式或者变形的两个不等式在两点的函数值之差的比值,那么可以考虑应用柯西中值定理来证明;当应用拉格朗日中值定理证明不等式时,第一步就是要根据不等式的特点来构造函数f(x)和定义区间[a b],使得函数满足拉格朗日使用的条件,进而得出拉格朗日公式:
    f(a)-f(b) = f’(d) (a-b),其中dÎ[b a],然后再根据d的取值范围对f’(d)进行取值估算,最后证明不等式。
    如例题4:证明当x>0时, < ln(1+x) < x
    证明:构造一个函数f(g)= ln(g),由于f(g)在[1, 1+x](x>0)上满足拉格朗日中值定理的使用条件,很容易就能够证明上述不等式了。
    2 积分学的证明方法
    2.1 应用定积分的概念
    当要证明的不等式是与自然数有关的和时,这个时候就可以考虑应用定积分的概念来进行证明。在证明过程中,关键的地方在于要根据和式的特点构造被积分函数以及积分区间。
    如例题5 证明存在正常数A<1,对任意n>0,有+++…….+ < A。
    证明,设f(x)=,xÎ(0 1),则存在常数A<1,有
    A= > ( + + +……),因此,+++…….+ < A。
    2.2 利用积分上限函数
    当遇到不等式中含有定积分,且积分的上限和下限均为常数时,这个时候可将上限改为变量,来构造积分的上限函数,利用变上限积分和函数的单调性来证明这类不等式。
如例题6,设f(x)在[a b]区间是连续的,且呈单调递增趋势,试证明:
    证明:设辅助函数F(t)=  - ,
    由于F’(t) = t (t) -  -   f(t)
         = ³ 0
    进而可以得出F (t)就是单调递增的,所以,F(b) ³ F(a) = 0。
    上面不等式就得到了证明。
    2.3 利用冲积分
    假如一个不等式中含有两个定积分的积,在这样的条件下,可考虑将其转化为重积分,就可以实现将定积分不等式的证明转化为重积分不等式来证明。
    如例题7  证明不等式 (1- ) < []2
    证明:设t=,那么,
    t2=dxdy  D1:xÎ[0 1], yÎ[0 1]  D2: x2+y2≤1, x≥0, y≥0
    因此, (1- ) < []2
    2.4 利用柯西-瓦莱茨不等式
    当不等式中含带有平方项的积分时,通常就可以通过应用柯西-瓦莱茨不等式进行证明:
    如例题8  设g(x)在区间[a b]上具有连续的导数,那么证明
    dx ≥
    证明:因为(b-a)
        =
        ≥[]2
            =[g(b)-g(a)]2
      因此,dx ≥
    3 其他不等式证明方法
    3.1 利用泰勒公式方法
    当题目中函数的一阶、二阶以及高阶以上的导数并且最高阶导数的大小或者上下界限已知的情况下,就可以应用泰勒公式的方法进行证明。在应用泰勒公式方法时,需要先写出比最高阶导数低一阶函数的泰勒公式,然后在根据题目给定的条件展开余项式,并根据具体条件进行适当的缩放,引导出所要证明的不等式。
    如例题8  =1,并且f’’(x)≥0,求证f(x)≥x
    证明:由题目隐含的信息可知,=f(0)=0,f’(0)= =1
    那么,f(x)=f(0)+f’(0)x+x2
         =x+x2,  ^_
    因为f’’(x)≥0,因此,f(x)≥x
    3.2 利用函数的幂级数展开式
    当不等式中含有几个经常见到的初级函数,如,,,时,就可以利用幂级数展开式来证明不等式的成立。
    如例题9  当xÎ(0, 1)时,证明ñ e2x
    证明: = 1+ ,e2x =
    因此,当n≥3时,2>,因此,ñ e2x
    3.3 利用二次型的正定性
    在实际解题的时候,会碰到有关 n 元二次齐次式的不等式的情况,在这样的情况下,我们可以考虑应用二次型的半正定或矩阵的半正定性进行证明。
    如例题10  设DABC的三边分别为a,b,c,其面积为S,求证a2+b2+c2≥4S
    证明:题目不等式可以转化为2a2+2b2-2ab-2ab≥0,
    这是一个关于a和b的二元齐次式,在这样的情况下,令
    f(a, b) = 2a2+2b2 -4ab
    A=
    矩阵式为   〔2 -2〕
                                     -2 2                
    由于2>0, ½A½= 4[1-sin2( √_D_Dd__________ĻřϨ
    f(a,b)≥0。
    a2+b2+c2≥4S
    3.4 利用概率论
    当不等式出现的的数值范围都在0和1之间时,这就与概率的值区间是相一致的,这样就可以用概率论的知识来证明不等式。当利用概率论证明不等式时,基本思想是将不等式中的数值转化为若干个互相独立的概率事件,从而可以转化为概率之间的运算。这样就可以利用概率论的知识和性质特点,来证明结论。
    如例题11 假如0<a<1,0<b<1,证明:
    0≤a+b-ab≤1
    证明:设A与B是两个互相独立的事件,并且P(A)=a, P(B)=b,那么就可以比较顺利的证明0≤a+b-ab≤1不等式 是成立的。
    3.5 利用向量的有关知识
    当碰到实际问题的时候,我们可以人为的构造一个与问题等价的向量模型,然后应用向量的有关知识,来证明 不等式,有时会有奇特的效果。
    如例题12  已知,a,b c,d均属于自然数R,证明:
    (ac+bd)2 ≤ (a2+b2) (c2+d2)
    证明:设 = (a,b), = (c,d)
    ½½≤½½2 ½½2  
    因此,(ac+bd)2 ≤ (a2+b2) (c2+d2)
    4 结论
    本文分别从微分学、积分学、线性代数和概率论等角度阐述了高等数学中不等式的证明,并对这些方法进行了总结和研究。在遇到不等式证明问题时,我们需要先分析题目,考虑用那种方法证明不等式是比较合适的选择,因为同一个不等式的证明肯能会有多个方法,在解题时,我们要熟练的掌握解题的技巧,多思考和多总结,把握好题目的本质,分门别类的对题目进行归纳,做到思维敏捷的证明不等式。
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    [5]邓勇.例谈不等式证明的高等数学方法[J].和田师范专科学校学报, 2006( 5):189-190
    [6]张明会,高婷婷. 一个数值积分公式的推广[J].四川文理学院学报, 2011( 2):17-19
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